零输入响应

零输入响应： 把输入的电压或电流降为零，看电路中的元件有什么反应（主要看电感和电容）。

本质上就是电路从有电到没电后的一段时间发生了什么，这时我们求出的东西不是一个具体的值，而是一个关于时间t的函数。这个函数反映了电感或电容的电压值或电流值在断电后随时间的变化情况。

1. 首先我们应该明确的一点是：电感的电流或电容的电压在电路发生改变前和电路发生改变后都不会改变。

2. 电感和电容都是储能元件，它们都会在断电之后起一个临时电源的作用。

3. 他们存储的电会随时间而流逝，我们可以通过数学式把这个过程精确地表示出来。

$$\begin{align*} \\ & 其关于时间 t 的表达式 = 改变后的稳态值 \cdot e^{- \frac{t}{\tau}} \\ \\ & \text{如果是 Capacitor 在释放电， } \tau = R \cdot C \\ \\ & \text{如果是 Inductor 在释放电， } \tau = \frac{L}{R} \\ \\ \end{align*}$$

注意!

这里的 $R$ 是指：相对于储电的Capacitor或Inductor而言，以Capacitor或Inductor为电流出发点，流过的电阻总值

这里的 $C$ 和 $L$ 是分别指的是Capacitance value和 Inductance value

图示电路原已达到稳态，在 $t=0$ 时开关 $S$ 合上。试求 $t \geq 0$ 时 的电容电压 $u_C(t)$ 及电流 $i_C(t)$

    \draw (0, 0) to [I=$10mA$](0, 4)
    to (1, 4)
    (1, 4) to [closing switch, l=$S$](1, 0) to (0, 0)
    (1, 4) to [R=$6k\Omega$](3, 4)

    (3, 4) to [R=$3k\Omega$](3, 0) to (1, 0)
    (3, 4) to [short, i=$i_C$](5, 4)
    to [C, l_=$5\mu F$, v^=$u_C$](5, 2)
    to [R=$2k\Omega$](5, 0)
    to (3, 0);

$$\begin{align*} \\ \text{1. } & \text{When switch off, 电容遇直流电断路} \\ \\ & u_C(0_-) = 10mA \cdot 3k \Omega = 30V \\ \\ & u_C(0_+) = u_C(0_-) = 30V \\ \\ \text{2. } & \text{Accrding to 公式} \\ \\ & \tau = R \cdot C = (3k \Omega \text{ // } 6k \Omega + 2k \Omega) \cdot 5\mu F \\ \\ & = 4k \Omega \cdot 5\mu F = 20 \times 10^{-3} s \\ \\ & u_C(t) = u_C(0_+) \cdot e^{- \frac{t}{\tau}} = 30 \cdot e^{-\frac{t}{20 \times 10^{-3}}} \\ \\ & = 30 \cdot e^{-50t} V \\ \\ \text{3. } & \text{Accrding to ohm's law, with Capacitor release power} \\ \\ & i_C =- \frac{u_C(t)}{R} \cdot e^{-50t} = - \frac{30}{4} \cdot e^{-50t} \\ \\ & = -7.5 \cdot e^{-50t} A \end{align*}$$